[Mathematics] 삼차방정식 x³=1의 허근 ω의 성질

 삼차방정식 x³=1의 허근 ω에는 여러가지 성질이 있다. 오늘은 그를 증명해 보도록 하겠다. (아까 혼자서 증명하다가 막혀서 블로그 안쓸라 그랬는데 씁니다)

 

 우선 삼차방정식 x³=1 을 보자. 우변을 0으로 만들면 x³-1=0 이다. 그럼 좌변을 인수분해하면 (x-1)(x²+x+1)=0 이다. 그럼 x=1 도 해가 될 것이고, 옆에 x²+x+1 도 0이어야 한다. 여기서 한 근을 ω라고 하자. x²+x+1=0 은 판별식을 사용해 보면 1-4=-3 으로 서로 다른 두 허근을 가짐을 알 수 있다. 그러면 ω 말고 다른 근은 bar(ω)가 될 것이다(바 기호를 어떻게 쓰는지 몰라서... 흙흑ㄱ 그냥 bar()로 표기하겠습니다.).

 

 여기서, 두 근 ω와 bar(ω)는 x²+x+1=0 의 근이기 때문에 이차방정식의 근과 계수와의 관계가 성립한다. 따라서 ω+bar(ω)=-1 이고, ω*bar(ω)=1 이다. ω*bar(ω)=1 에 따라서 ω=1/bar(ω) 이고, bar(ω)=1/ω 이다. 또한, ω²*ω=1 도 성립하는데, 그 이유는 ω는 기본적으로 x²+x+1=0 의 근이긴 하지만, x²+x+1=0 은 x³=1 을 인수분해한 것이기 때문에 ω는 또한 x³=1 의 근도 되어, ω³=1 또한 성립한다. 그런데, ω²*ω=ω³ 이기 때문에 ω²*ω=1 이 성립하는 것이다. 물론 bar(ω)²*bar(ω)=1도 성립한다. 그러면  ω²=1/ω=bar(ω) 이고, bar(ω)²=1/bar(ω)=ω 가 된다. x³=1의 두 허근 ω와 bar(ω)는 서로 켤레근이면서, 역수이고, 제곱수이기도 한 매우 특이한 형태를 가지고 있다.

 

 또한 ω는 순환하는 성질도 가지고 있다. ω³=1 을 한번 ω³ⁿ =1ⁿ 의 꼴로 바꾸어 보자. 그렇다면 ω³ⁿ=1 이 될 것이다. 그렇다면 예를 들어서 ω⁴이 있다고 해도, ω⁴=ω*ω³=ω 가 되는 것이다. 얼만큼 제곱하던지 간에, 지수를 3으로 나눈 나머지만큼으로 바꿀 수 있는 것이다. 또한, ω의 연속되는 세 지수의 합은 무조건 0이 되는데, 예를 들어 ω²+ω³+ω⁴ 이 있다고 해보자. 그렇다면 ω²+ω³+ω⁴=ω²(1+ω+ω²) 이 되고, ω²+ω+1=0 이기 때문에(ω는 x²+x+1=0 의 근이다.) 어차피 0이 되는 것이다.