[Mathematics] 삼차방정식의 근과 계수와의 관계

이차방정식에는 근과 계수와의 관계가 있다. 바로 이차방정식 ax²+bx+c 의 두 근 α, β에서 α+β = -b/a, αβ = c/a 라는 것이었다.

삼차방정식에도 그러한 근과 계수와의 관계가 있다. 삼차방정식 ax³+bx²+cx+d의 세 근 α, β, γ에서 α+β+γ = -b/a, αβ+βγ+αγ = c/a, αβγ = -d/a라는 것이다.

한번 증명해 보겠다.

삼차방정식 ax³+bx²+cx+d의 세 근이 α, β, γ라는 말은, ax³+bx²+cx+d = a(x-α)(x-β)(x-γ) 라는 뜻이다. 따라서 좌변과 우변을 비교해주면 삼차방정식의 근과 계수와의 관계를 유도할 수 있는 것이다.

우변을 풀면 a{x³-(α+β+γ)x²+(αβ+βγ+αγ)x - αβγ} = ax³-a(α+β+γ)x²+a(αβ+βγ+αγ)x-aαβγ 이다.

ax³-a(α+β+γ)x²+a(αβ+βγ+αγ)x-aαβγ = ax³+bx²+cx+d 이므로 x²의 계수부터 비교해 보자면,

-a(α+β+γ) = b 이므로 α+β+γ = -b/a 이다.
a(αβ+βγ+αγ) = c 이므로 (αβ+βγ+αγ) = c/a 이다.
-aαβγ = d 이므로 αβγ = -d/a 이다.


Feat.

맨 처음에 글을 썼을때(αβ+βγ+αγ) = c/a를 (αβ)(β)(αγ) = c/a라고 썼었다.. 친구가 보고 알려줘서 알았다. 고마워!

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자작가871

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