[Mathematics] 음수의 제곱근의 성질 l a<0, b<0이면 √a√b = -√ab, a>0, b<0이면 √a / √b = -√a/b인

고등학교 1학년 수학의 복소수 부분을 풀다가, 문제집에 아무런 설명도 없이 "a<0, b<0이면 √a√b = -√ab, a>0, b<0이면 √a / √b = -√a/b 이다." 라고만 나와서 이 글을 쓴다.

우선 a<0, b<0이면 √a√b = -√ab인 이유를 증명하겠다.

a<0 이면 -a>0이고, 마찬가지로 b<0이니 -b>0일 것이다. 그렇다면 √a√b = (√-a)(√-1)(√-b)(√-1) = (√-a)i(√-b)i 이렇게 된다. 그러면 -√(-a)(-b)이니 -√ab가 된다. 정리해 보자면,

a<0, b<0일 때에,
-a>0, -b>0,
√a√b
= (√-a)(√-1)(√-b)(√-1)
= -√ab 이다.

이번에는 a>0, b<0일 때에 √a/√b = -√a/b인 이유이다.

b<0이니 -b>0이 될 것이다. 그렇다면 (√a)/(√b) = (√a)/(√-b)(√-1) 이렇게 될 것이고, (√a)/(√-b)i 이렇게 될 것이다. 분자와 분모에 각각 i를 곱해주자. (√a)i/(√-b)i²이다. 여기서 i = √-1이므로 -(√-a)/(√-b)이고, 분자와 분모가 다 루트이므로 -√(-a)/(-b) 이다. 루트 안쪽의 분자와 분모의 -1을 약분해주면 -√a/b가 된다. 정리해보자면,

a>0, b<0일 때에,
-b>0, (√a)/(√b)
= (√a)/(√-b)(√-1)
= (√a)/(√-b)i
= (√a)i/(√-b)i²
= -(√-a)/(√-b)
= -√(-a)/(-b)
= -√a/b 이다.