[Mathematics] 삼각형의 닮음을 이용한 피타고라스 정리의 증명

혼자서 끄적끄적 하다가 찾은 피타고라스 정리의 증명이다. 뭐 물론 내가 증명하기 전에도 여러 사람들이 같은 증명법으로 증명했겠지만, 그래도 내가 찾은 방법이니 블로그에 올려본다.

 

GeoGebra의 Geometry 툴을 이용하였다. 이거 그리는데 꽤 오래 걸렸다.

 

각 C가 직각인 직각삼각형 ABC에서 다음과 같이 나타내어 보자.

 

$$ \overline{bc} = a $$

$$ \overline{ac} = b $$

$$ \overline{ab} = c $$

$$ \overline{bd} = m $$

$$ \overline{ab} = n $$

 

그런데, 다음과 같이 삼각형 DBC와 삼각형 DCA, 삼각형 CBA가 닮음임을 보일 수 있다.

 

$$ \angle{A} + \angle{B} = 90° $$

$$ \angle{BCD} = \angle{A}, \angle{ACD} = \angle{B} $$

$$ \bigtriangleup{DBC} ∽ \bigtriangleup{DCA} ∽ \bigtriangleup{CBA} (AA닮음) $$

 

따라서 다음과 같은 비례식이 성립한다.

 

$$ b : m = c : b $$

$$ a : c = n : a $$

 

따라서, m과 n은 이렇게 나타낼 수 있다.

 

$$ m = \frac{b^{2}}{c} $$

$$ n = \frac{a^{2}}{c} $$

 

m+n=c 이므로 다음과 같은 방정식을 풀이, 피타고라스 정리가 성립한다.

 

$$ n + m = \frac{a^{2}+b^{2}}{c} = c $$$$ a^{2} + b^{2} = c^{2} $$