[Mathematics] 파푸스의 중선정리의 증명

 

위와 같은 삼각형 ABC의 A에서 선분 BC에 내린 중점 M과 A에서 선분 BC에 내린 수선의 발 H에 관해서 다음과 같은 식이 성립한다.

 

$$ \overline{AB}^2 + \overline{AC}^2 = $$

$$ (\overline{BH}^2+\overline{AH}^2)+(\overline{HC}^2+\overline{AH}^2)= $$

$$ \overline{BH}^2+\overline{HC}^2+2\overline{AH}^2= $$

$$ (\overline{BM}+\overline{MH})^2+(\overline{CM}-\overline{MH})^2+2\overline{AH}^2= $$

$$ (\overline{BM}+\overline{MH})^2+(\overline{BM}-\overline{MH})^2+2\overline{AH}^2=$$

$$2\overline{BM}^2+2\overline{MH}^2+2\overline{AH}^2=$$

$$2(\overline{AH}^2+\overline{MH}^2)+\overline{BM}^2=$$

$$2(\overline{AM}^2+\overline{BM}^2)  $$