[Mathematics] 삼각형의 한 변과 양 끝각을 알 때의 넓이 구하기

삼각형이 결정될 때, 일반적으로 그 결정조건을 가지고 넓이를 구할 수 있다. 예를 들어, 삼각형의 세 변을 알 때는 헤론의 공식을 사용하고, 삼각형의 두 변과 그 끼인각을 알 때에는 삼각비를 활용하여 넓이를 구한다.

 

그런데 삼각형의 한 변과 양 끝각을 알 때에는 그 넓이를 어떻게 구할까? 그 공식을 알아내 보도록 하자.

 

GeoGebra를 활용하여 그렸다.

 

다음과 같은 삼각형에서 a와 각B, 각C를 알고 있다. 삼각형의 내각의 합은 180도이므로 각A 또한 결정된다.

 

여기서 다음과 같은 사인법칙은 자명하다.

 

$$ \overline{BC} = a $$

$$ \overline{AC} = b $$

$$ \overline{AB} = c $$

$$ \frac{a}{sinA} = \frac{b}{sinB} = \frac{c}{sinC} $$

 

a와 B, C를 알고 있고, c는 사인법칙을 이용하여 구할 수 있으므로 넓이는 다음과 같이 구할 수 있다.

 

$$ \triangle{ABC} = \frac{ac \cdot sinB}{2} $$

 

c는 사인법칙을 활용하여 다음과 같이 구할 수 있다.

 

$$ \frac{c}{sinC} = \frac{a}{sinA} $$

$$ c = \frac{a \cdot sinC}{sinA} $$

 

넓이를 구하는 식에 c를 대입하면 다음과 같이 나타내어진다.

 

$$ \triangle{ABC} = \frac{a^{2} \cdot sinB \cdot sinC}{2 sinA} $$

 

여기서 각A를 각B와 각C에 관해 나타내어 정리하면 다음과 같은 공식이 성립한다.

 

$$ \angle{A} = 180^{\circ} - \angle{B} - \angle{C} $$

$$ sinA = sin(B+C) $$

$$ \therefore \triangle{ABC} = \frac{a^{2} \cdot sinB \cdot sinC}{2 sin(B+C)} $$